碳纤维复合材料优化设计
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1 前言
碳纤维复合材料以其比强度高、比模量高，耐高温、耐摩擦、耐腐蚀等优点，在航空航天、汽车、风电、船舶等领域得到了广泛的应用。基于铺层碳纤维复合材料就是将各向异性的碳纤维层材料按照一定的顺序和角度叠在一起，然后通过其它工艺使各铺层紧密的贴合在一起成为一个整体。众多领域复合材料使用量的快速增长催生了碳纤维的分析及优化需求。目前，国内外碳纤维复合材料优化设计的主要设计变量为：几何形状、碳纤维铺层厚度、碳纤维铺层角度和碳纤维铺层顺序，采用多阶段优化设计方法，分别进行几何形状优化、铺层厚度优化与角度优化、铺层顺序优化。这种传统的多阶段优化设计方法要求先优化完一个设计变量再进行下一个设计变量的优化，这不但要求工程师等待一次优化计算完成后提交下一个设计变量的优化计算且忽略了各个设计变量之间的相互影响。本文选用碳纤维增强树脂复合材料，以经典层合板理论为力学计算基础，介绍一种基于HyperStudy优化平台与OptiStruct求解器相结合的综合应用几何形状优化、铺层厚度与角度优化、铺层顺序优化等技术的全新优化方法。
2 模型简述
本文使用的模型如图1所示，该模型长200mm，宽100mm,高100mm，两侧面中心各有一个直径为30mm的圆孔。
图1 有限元模型
模型总共8个铺层，每层厚度均为2mm,铺层角度按0°、-45°、45°和90°依次排列。各铺层具体信息如图2所示。
图2 各铺层基本信息
本模型为汽车上某个零件的一部分，本次优化首先要保证结构的刚度（y方向的位移在允许范围内），其次重量要轻。由于原材料和工艺的要求，碳纤维铺层的厚度只能为0.05mm、0.1mm、0.15mm、0.2mm和0.25mm,碳纤维铺层的角度只能为0°、±45°和90°四种角度。另外由于布线的要求，需要在两个侧面开一个直径为30mm的圆孔，但圆孔可以上下移动。
3 优化设计
优化设计三要素为设计变量、约束条件、目标函数。优化设计通常可以归纳为：在一定的约束条件下，选取设计变量，使目标函数达到最小（或最大），其数学表达式一般为：
〖min 〗〖f(x) 〗 x∈X
s.t. g_u (x)≤0 u=1,2,m
h_v (x)=0 v=1,2,p
式中: x——设计变量，x=[x_1,x_2,,x_n ]^T；X——符合一定条件的设计变量的集合，即设计空间；m、p——分别表示不等式和等式约束的个数。
3.1 设计变量
本模型以侧面圆孔向上移动的距离和每个铺层的厚度和角度为设计变量,即同时实现了几何形状优化、铺层厚度与角度优化、铺层顺序优化。每个铺层厚度和铺层角度均为离散变量，根据设计的要求设计变量的表达式如下：
X={shape,th1,th2,th3,th4,th5,th6,th7,th8,ori1,ori2,ori3,ori4,ori5,ori6,ori7,ori8}
shape∈[-10,10]
th1,th2,th3,th4,th5,th6,th7,th8∈{0.05,0.1,0.15,0.2,0.25}
ori1,ori2,ori3,ori4,ori5,ori6,ori7,ori8∈{0°,-45°,45°,90°}
式中shape为模型侧面圆孔向上移动的距离，负值表示向下移动。thn为第n层的厚度，orin为第n层的角度。
这17个设计变量在HyperStudy中的设置如图3所示。
图3 设计变量
3.2 约束条件
本案例约束条件为材料不发生破坏和顶面下降（-y方向）位移小于0.05mm。
目前国内外常用的单层板失效准则有最大应力准则、最大应变准则、Tsai-Hill强度准则、Hoffman准则和Tsai-Wu张量多项式准则。其中Tsai-Wu张量多项式准则是对复合材料的破坏描述最全面的准则，对于 2D 平面应力状态 (σ_3=0，τ_13=0，τ_23=0)，Tsai-Wu张量多项式准则的表达式如下：
F_1 σ_1+F_2 σ_2+2F_12 σ_1 σ_2+F_11 σ_1^2+F_22 σ_2^2+F_6 τ_12+F_66 τ_12^2=1
其中F_ij+F_i为材料的强度参数，σ_i为正应力,τ_ij为切应力
当F_1 σ_1+F_2 σ_2+2F_12 σ_1 σ_2+F_11 σ_1^2+F_22 σ_2^2+F_6 τ_12+F_66 τ_12^2≤1时复合材料在弹性变形阶段，材料没有破坏。
约束条件的表达式如下
tsai_wu≤1
disp≥-0.05
式中:tsai_wu=F_1 σ_1+F_2 σ_2+2F_12 σ_1 σ_2+F_11 σ_1^2+F_22 σ_2^2+F_6 τ_12+F_66 τ_12^2
disp为顶面中心节点的y方向位移。
约束条件在HyperStudy中的设置如图4所示。
图4 约束条件
3.3 目标函数
本案例是为了在保证结构刚度的基础上实现减重，由于材料密度一样，采用最小体积可等效最小质量。
其表达式如下：
min volume
式中 volume=75025.69×（th1+th2+th3+th4+th5+th6+th7+th8）,75025.69为壳单元总面积，volume为模型体积。
目标函数在HyperStudy中的设置如图5所示。
图5 目标
3.4 优化算法
HyperStudy包含非常丰富的优化算法，本案例为离散的单目标优化问题，可以选择的优化算法有自适应响应面法（ARSM）、全局自适应响应面法（GRSM）和遗传算法（GA）。自适应响应面法迭代次数较少、优化效率高,但对于变量较多的优化问题找到的解往往不是最优解，而遗传算法迭代次数过多，效率非常低，所以本优化问题选择全局自适应响应面法为优化算法。全局自适应响应面法在每一次迭代后，基于响应面的优化算法*会产生新的计算样本点，增加的样本点会在局部搜索和全局搜索之间寻求一个较好的平衡。全局自适应响应面法在开始时利用少数的样本点建立一个响应面并根据新的样本点适应性地更新响应面以更好地拟合实际模型。全局自适应响应面法可以优化单目标和多目标的问题，具有全局搜索能力，支持离散变量，适用于具有很多设计变量的单目标优化。本优化问题为较多设计变量的单目标优化，采用全局自适应响应面法最为合适。全局自适应响应面法的优化流程如图所6示。
图6 全局自适应响应面法的优化流程图
4 结果分析
仅仅通过一次的优化设置后，碳纤维复合材料结构就完成了传统方法经过3个阶段优化设计的3个任务：
（1）几何形状的设计；
（2）各铺层厚度与角度的设计：
（3）铺层顺序的设计。
4.1 优化结果
由于设计变量较多，本优化模型设置计算次数为200次，优化目标在77次迭代后收敛。优化目标的优化迭代图如图7所示。
图7 优化目标的优化迭代图
经过优化后，模型侧面的两圆孔向下移动了5.156mm，优化后模型的形状和铺层信息如图8和图9所示。
图8 优化后的有限元模型
图9 优化后的各铺层信息
4.2 结果对比分析
优化设计前模型的顶面下降为0.0524786mm，经过优化后的顶面下降为0.0498680，比优化前减少了0.0026106mm，减少了5%，且0.049868mm满足设计要求。
优化前模型的体积为120041〖mm〗^3,经过优化后的体积为108787〖mm〗^3,比优化前减少了11254〖mm〗^3,减少了9.4%。
5 结论
基于HyperStudy优化平台与OptiStruct求解器相结合的碳纤维复合材料优化设计方法同时实现了分三步的形状优化、铺层厚度与角度优化、铺层顺序优化。本案例证明了这种优化设计方法对基于铺层的碳纤维复合材料优化是有效的，为基于铺层碳纤维复合材料的优化提供了一种新的方法。
责任编辑：马倩
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1 前言
碳纤维复合材料以其比强度高、比模量高，耐高温、耐摩擦、耐腐蚀等优点，在航空航天、汽车、风电、船舶等领域得到了广泛的应用。基于铺层碳纤维复合材料就是将各向异性的碳纤维层材料按照一定的顺序和角度叠在一起，然后通过其它工艺使各铺层紧密的贴合在一起成为一个整体。众多领域复合材料使用量的快速增长催生了碳纤维的分析及优化需求。目前，国内外碳纤维复合材料优化设计的主要设计变量为：几何形状、碳纤维铺层厚度、碳纤维铺层角度和碳纤维铺层顺序，采用多阶段优化设计方法，分别进行几何形状优化、铺层厚度优化与角度优化、铺层顺序优化。这种传统的多阶段优化设计方法要求先优化完一个设计变量再进行下一个设计变量的优化，这不但要求工程师等待一次优化计算完成后提交下一个设计变量的优化计算且忽略了各个设计变量之间的相互影响。本文选用碳纤维增强树脂复合材料，以经典层合板理论为力学计算基础，介绍一种基于HyperStudy优化平台与OptiStruct求解器相结合的综合应用几何形状优化、铺层厚度与角度优化、铺层顺序优化等技术的全新优化方法。
2 模型简述
本文使用的模型如图1所示，该模型长200mm，宽100mm,高100mm，两侧面中心各有一个直径为30mm的圆孔。
图1 有限元模型
模型总共8个铺层，每层厚度均为2mm,铺层角度按0°、-45°、45°和90°依次排列。各铺层具体信息如图2所示。
图2 各铺层基本信息
本模型为汽车上某个零件的一部分，本次优化首先要保证结构的刚度（y方向的位移在允许范围内），其次重量要轻。由于原材料和工艺的要求，碳纤维铺层的厚度只能为0.05mm、0.1mm、0.15mm、0.2mm和0.25mm,碳纤维铺层的角度只能为0°、±45°和90°四种角度。另外由于布线的要求，需要在两个侧面开一个直径为30mm的圆孔，但圆孔可以上下移动。
3 优化设计
优化设计三要素为设计变量、约束条件、目标函数。优化设计通常可以归纳为：在一定的约束条件下，选取设计变量，使目标函数达到最小（或最大），其数学表达式一般为：
〖min 〗〖f(x) 〗 x∈X
s.t. g_u (x)≤0 u=1,2,m
h_v (x)=0 v=1,2,p
式中: x——设计变量，x=[x_1,x_2,,x_n ]^T；X——符合一定条件的设计变量的集合，即设计空间；m、p——分别表示不等式和等式约束的个数。
3.1 设计变量
本模型以侧面圆孔向上移动的距离和每个铺层的厚度和角度为设计变量,即同时实现了几何形状优化、铺层厚度与角度优化、铺层顺序优化。每个铺层厚度和铺层角度均为离散变量，根据设计的要求设计变量的表达式如下：
X={shape,th1,th2,th3,th4,th5,th6,th7,th8,ori1,ori2,ori3,ori4,ori5,ori6,ori7,ori8}
shape∈[-10,10]
th1,th2,th3,th4,th5,th6,th7,th8∈{0.05,0.1,0.15,0.2,0.25}
ori1,ori2,ori3,ori4,ori5,ori6,ori7,ori8∈{0°,-45°,45°,90°}
式中shape为模型侧面圆孔向上移动的距离，负值表示向下移动。thn为第n层的厚度，orin为第n层的角度。
这17个设计变量在HyperStudy中的设置如图3所示。
图3 设计变量
3.2 约束条件
本案例约束条件为材料不发生破坏和顶面下降（-y方向）位移小于0.05mm。
目前国内外常用的单层板失效准则有最大应力准则、最大应变准则、Tsai-Hill强度准则、Hoffman准则和Tsai-Wu张量多项式准则。其中Tsai-Wu张量多项式准则是对复合材料的破坏描述最全面的准则，对于 2D 平面应力状态 (σ_3=0，τ_13=0，τ_23=0)，Tsai-Wu张量多项式准则的表达式如下：
F_1 σ_1+F_2 σ_2+2F_12 σ_1 σ_2+F_11 σ_1^2+F_22 σ_2^2+F_6 τ_12+F_66 τ_12^2=1
其中F_ij+F_i为材料的强度参数，σ_i为正应力,τ_ij为切应力
当F_1 σ_1+F_2 σ_2+2F_12 σ_1 σ_2+F_11 σ_1^2+F_22 σ_2^2+F_6 τ_12+F_66 τ_12^2≤1时复合材料在弹性变形阶段，材料没有破坏。
约束条件的表达式如下
tsai_wu≤1
disp≥-0.05
式中:tsai_wu=F_1 σ_1+F_2 σ_2+2F_12 σ_1 σ_2+F_11 σ_1^2+F_22 σ_2^2+F_6 τ_12+F_66 τ_12^2
disp为顶面中心节点的y方向位移。
约束条件在HyperStudy中的设置如图4所示。
图4 约束条件
3.3 目标函数
本案例是为了在保证结构刚度的基础上实现减重，由于材料密度一样，采用最小体积可等效最小质量。
其表达式如下：
min volume
式中 volume=75025.69×（th1+th2+th3+th4+th5+th6+th7+th8）,75025.69为壳单元总面积，volume为模型体积。
目标函数在HyperStudy中的设置如图5所示。
图5 目标
3.4 优化算法
HyperStudy包含非常丰富的优化算法，本案例为离散的单目标优化问题，可以选择的优化算法有自适应响应面法（ARSM）、全局自适应响应面法（GRSM）和遗传算法（GA）。自适应响应面法迭代次数较少、优化效率高,但对于变量较多的优化问题找到的解往往不是最优解，而遗传算法迭代次数过多，效率非常低，所以本优化问题选择全局自适应响应面法为优化算法。全局自适应响应面法在每一次迭代后，基于响应面的优化算法*会产生新的计算样本点，增加的样本点会在局部搜索和全局搜索之间寻求一个较好的平衡。全局自适应响应面法在开始时利用少数的样本点建立一个响应面并根据新的样本点适应性地更新响应面以更好地拟合实际模型。全局自适应响应面法可以优化单目标和多目标的问题，具有全局搜索能力，支持离散变量，适用于具有很多设计变量的单目标优化。本优化问题为较多设计变量的单目标优化，采用全局自适应响应面法最为合适。全局自适应响应面法的优化流程如图所6示。
图6 全局自适应响应面法的优化流程图
4 结果分析
仅仅通过一次的优化设置后，碳纤维复合材料结构就完成了传统方法经过3个阶段优化设计的3个任务：
（1）几何形状的设计；
（2）各铺层厚度与角度的设计：
（3）铺层顺序的设计。
4.1 优化结果
由于设计变量较多，本优化模型设置计算次数为200次，优化目标在77次迭代后收敛。优化目标的优化迭代图如图7所示。
图7 优化目标的优化迭代图
经过优化后，模型侧面的两圆孔向下移动了5.156mm，优化后模型的形状和铺层信息如图8和图9所示。
图8 优化后的有限元模型
图9 优化后的各铺层信息
4.2 结果对比分析
优化设计前模型的顶面下降为0.0524786mm，经过优化后的顶面下降为0.0498680，比优化前减少了0.0026106mm，减少了5%，且0.049868mm满足设计要求。
优化前模型的体积为120041〖mm〗^3,经过优化后的体积为108787〖mm〗^3,比优化前减少了11254〖mm〗^3,减少了9.4%。
5 结论
基于HyperStudy优化平台与OptiStruct求解器相结合的碳纤维复合材料优化设计方法同时实现了分三步的形状优化、铺层厚度与角度优化、铺层顺序优化。本案例证明了这种优化设计方法对基于铺层的碳纤维复合材料优化是有效的，为基于铺层碳纤维复合材料的优化提供了一种新的方法。
责任编辑：马倩
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